2. Matrix & Gaussian Elimination

한양대학교 이상화 교수님의 '선형대수' 강의를 참고하였음을 밝힙니다.

(http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757)

< Geometry of Linear Equations (선형 방정식의 기하학) >

라는 연립방정식이 있을 때,

고등학교 과정의 내용으로 기하적 접근을 하면

아래의 그림에서 두 직선의 교점이 연립방정식의 해에 해당합니다.

이러한 방식으로 연립방정식을 푸는 것은

각각의 식을 row equation으로 접근하는 것입니다.

이번에는 위의 연립방정식을

column form으로 접근해보도록 하겠습니다.

를 꼴의 행렬로 나타내면 아래와 같습니다.

그리고 1. 선형성의 정의 및 연립방정식의 의미 에서 정리했던 Linear combination을 이용하면 아래와 같습니다.

이 식을 해석하면,

(2, 1)벡터에 실수배를 한 벡터와 (-1, 1)벡터에 실수배를 한 벡터를 더하여 (1, 5) 벡터를 만드는 것입니다.

그리고 각각의 벡터에 곱해준 실수(x, y)가 연립방정식의 해가 됩니다.

연립방정식의 식이 3개인 경우를 생각하면,

row picture (equation)은 평면들의 intersection이고,

column picture (form)은 combination of columns에 해당합니다.

< Singular Case >

연립방정식의 해가 존재하지 않거나 무수히 많은 해가 존재하는 경우를 Singular Case라고 합니다.

n개의 식으로 이루어진 연립방정식을 column picture로 접근하면

연립방정식의 해가 없거나 무한히 많은 해를 가지는 경우,

n개의 columns은 같은 평면에 놓여있습니다.

예를 들어,

식이 3개인 연립방정식을 column picture로 접근하면 3개의 벡터가 만들어집니다.

검은색 벡터가 3개의 columns에 해당하고 3개의 벡터가 모두 같은 평면에 놓여있는 경우입니다.

이때, 벡터 a는 종점이 평면 위에 있지 않기 때문에 3개의 벡터를 이용하여 표현할 수 없습니다.

즉, 연립방정식의 해가 존재하지 않습니다.

그리고 벡터 b는 종점이 평면 위에 놓여 있기 때문에

3개의 벡터를 실수배하여 나타낼 수 있는 경우의 수는 무한히 많습니다.

즉, 연립방정식의 해가 무한히 많습니다.

따라서 n개의 식으로 이루어진 연립방정식이 singular case인 경우,

모든 n개의 columns은 같은 평면 위에 위치합니다.

< Example of Gaussian Elimination (가우스 소거법의 예시) >

아래의 예시를 통해 가우스 소거법에 대해서 정리하도록 하겠습니다.

첫번째 식의 첫번째 문자의 계수를 1st pivot이라 합니다.

그리고 가우스 소거법은 두번째 식과 세번째 식에서 적절히 변형한 첫번째 식을

빼 줌으로써 각각의 첫번째 문자의 계수를 0으로 만들어줍니다.

위의 예시를 예로 들면,

두번째 식의 첫번째 문자인 u의 계수를 0으로 만들기 위해서는

첫번째 식에 2를 곱한 식을 빼 주어야 합니다. (② - 2 X ①)

그리고 세번째 식의 첫번째 문자인 u의 계수를 0으로 만들기 위해서는

첫번째 식에 -1을 곱한 식을 빼 주어야 합니다. (③ - (-1) X ①)

이러한 과정을 거친 결과는 아래와 같습니다.

그리고 두번째 식의 두번째 문자의 계수를 2nd pivot이라 합니다.

다음으로는 세번째 식에서 적절히 변형한 두번째 식을 빼 줌으로써

두번째 문자의 계수를 0으로 만들어줍니다.

즉, 세번째 식에서 두 번째 식에 -1을 곱한 식을 빼 줌으로써

두번째 문자인 v의 계수를 0으로 만들어줍니다. (③ - (-1) X ②)

이러한 과정을 거쳐 

 임을 알 수 있고

마지막 식에 대입을 해주면 (back-substitution)

입니다.