1. 선형성 정의 및 1차 연립방정식의 의미

한양대학교 이상화 교수님의 '선형대수' 강의를 참고하였음을 밝힙니다.

(http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

< Linearity (선형성) >

함수(function) 가 선형성을 가지려면 아래의 두 가지 조건을 만족해야 합니다.

1. Superposition (중첩의 원리) : 

2. Homogeneity (동질성) : (a는 상수)

이 두 가지 조건을 하나의 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

선형성을 가지는 함수의 예로는 원점을 지나는 직선이 있습니다.

원점을 지나는 직선의 방정식은 로 나타낼 수 있고

에 를 대입하면 성립함을 쉽게 알 수 있습니다.

하지만, 원점을 지나지 않는 직선의 경우에는 선형성을 가지지 않습니다.

원점을 지나지 않는 직선의 방정식은 으로 나타낼 수 있는데

에 식을 대입하면 성립하지 않습니다.

이때 x와 y 사이에는 선형성이 존재하지 않지만

와 사이에는 선형성이 존재합니다.

이번에는 함수가 아닌 연산(operation)의 선형성에 대해 살펴보겠습니다.

선형성을 갖는 연산의 대표적인 예로는 '미분(Differentiation)'과 '적분(Integration)'이 있습니다.

두 개의 t에 관한 함수 에 대해서

선형성을 만족하기 위한 조건 에 f라는 함수 대신에

t에 관한 미분을 해주면 아래와 같습니다.

또한 적분을 해준 결과는 아래와 같습니다.

또한 행렬(Matrix)도 선형성을 만족합니다.

즉, 행렬 A는 아래의 식을 만족합니다.

< 행렬의 기본 표기법 (Basic Notations of Matrix) >

고등학교 과정에서는 벡터를 주로 와 같은 형태로 나타냈습니다.

이러한 표현법을 열 벡터 (row vector)라고 하는데,

선형대수학에서는 열 벡터 대신에 주로 행 벡터 (column vector)를 사용합니다.

행 벡터는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

또한 행 벡터는 아래와 같이 전치(Transpose)를 이용하여 나타내기도 합니다.

< 선형 결합 (Linear Combination) >

몇 개의 벡터 또는 함수가 있을 때, 각각을 스칼라배하여 합을 취한 식을 선형결합 또는 일차 결합이라 합니다.

예를 들어

라는 2개의 벡터가 있을 때,

실수 를 각각의 벡터에 곱해 더하는 조합()을 선형 결합이라고 합니다.

또한 실수 를 선형 결합의 계수가 아니라 벡터로 나타내면

행렬과 벡터의 곱으로 선형 결합을 표현할 수 있습니다.

즉, 아래의 식이 성립합니다.